No totes les boles són partícules!

Post date: Oct 22, 2012 7:20:52 PM

Ja hi tornem a ser amb els errors de Mecànica fonamental

A l’examen de Mecànica fonamental del juny passat va tornar a haver-hi un error greu. És en el problema 4 a propòsit del càlcul de l’energia dissipada en la col·lisió de dues boles que queden enganxades (pregunta b).

Sorprèn aquest error perquè és el mateix que ja havien fet a l’examen del juny de 2011, i que havia ocasionat un dels meus primers escrits crítics (“Errors conceptuals ....: 1. A propòsit de la dinàmica dels sòlids petits”)(pdf).

La col·lisió de les dues boles que queden enganxades és estudiada, en la solució publicada, com si les boles fossin partícules materials, és a dir es negligeix la dinàmica a la rotació.

Però dues boles poden col·lidir de manera centrada o de manera tangencial –parcialment o total– , i en aquest darrer cas, encara que inicialment les boles no tinguin rotació (cosa que cal suposar perquè a l’enunciat no se’n diu res), sí que en tenen una vegada han quedat enganxades. Que la col·lisió pot ser tangencial en el problema de l’examen queda clar en la pregunta c, en la qual les dues solucions a trobar corresponen a col·lisions parcialment tangencials.

I no s’hi val a dir que l’energia cinètica de rotació és negligible perquè les boles són petites (a l’examen de juny de 2011 es deia que eren petites les boles de 4 i 6 kg que es consideraven, en el de juny de 2012 no es diu que les dues boles de 5 kg ho siguin). Tot ve de la conservació del moment cinètic respecte al centre de masses del conjunt.

En una col·lisió tangencial, fem que les boles siguin ben petites: Si les velocitats inicials i les masses són finites, i els radis tendeixen a un infitèsim de primer ordre, el moment cinètic tendeix també a un infinitèsim de primer ordre. Però com que el moment central d’inèrcia del conjunt tendeix a un infinitèsim de segon ordre, la velocitat angular final tendeix a un infinit de primer ordre, de manera que l’energia cinètica de rotació final –proporcional al producte de la velocitat angular al quadrat pel moment d’inèrcia– té un valor finit. Aquest valor és una fracció de l’energia cinètica inicial de les boles que només depèn de la relació de radis. És independent de si les boles són grosses o petites

Per a dues boles iguals (com és el cas del problema d’examen i del cas considerat en la meva anàlisi crítica publicada ara fa cosa d’un any), si la col·lisió és centrada, es dissipa 1/2 de l’energia cinètica inicial T₀. Però si és parcialment o totalment tangencial, part d’aquesta energia queda en forma d’energia cinètica de rotació, de manera que no es dissipa. Concretament per al cas de col·lisió totalment tangencial, 5/7 d’aquesta energia es reté en forma d’energia cinètica de rotació, de manera que només es dissipa 1/7 (i no 1/2) de T₀. Així doncs el resultat correcte a la pregunta b és un valor d’energia cinètica dissipada comprès entre 1/7 i 1/2 de T₀, i no justament (1/2)T₀ , que és el resultat publicat.

Aquest és un error recurrent en els problemes que Mecànica fonamental té al web docent Atenea (abans es podien trobar al web docent La baldufa): considerar com a partícules sòlids que tenen una dinàmica de translació i rotació acoblades, cosa que fa que no puguin ser considerats partícules materials, per petits que siguin.

Joaquim Agulló

Catedràtic d’universitat